Урок 85. Интерференция света

До этого занятия мы описывали свет лучами — линиями, вдоль которых распространяется энергия, — и этого хватало, чтобы разобраться с отражением, преломлением и линзами. Но у света, как мы уже упоминали при разговоре о дисперсии, есть волновая природа, и рано или поздно она даёт о себе знать так, что лучевая модель перестаёт работать вовсе. Сегодня — как раз такой случай: явление, которое в принципе невозможно объяснить, считая свет потоком независимых лучей, — интерференция. Именно она отвечает за радужную плёнку бензина на асфальте, переливы мыльного пузыря и просветляющее покрытие на линзах фотоаппарата.

1. Когерентность — необходимое условие интерференции

Интерференция волн — явление устойчивого во времени перераспределения энергии волны в пространстве при наложении двух (или нескольких) волн, в результате которого в одних точках наблюдается усиление колебаний, а в других — их ослабление.

Разберёмся, почему это вообще возможно. Если в какую-то точку пространства приходят две волны от двух источников, результирующее колебание — их сумма. Если гребень одной волны в этой точке всё время совпадает с гребнем другой, амплитуды складываются — получается устойчивый максимум. Если же гребень одной волны всё время приходится на впадину другой, колебания взаимно гасят друг друга — устойчивый минимум:

Слово «всё время» здесь ключевое. Обычные независимые источники света (две лампочки, два пламени свечи) излучают не непрерывные ровные волны, а множество коротких, беспорядочно обрывающихся цугов волн, причём каждый источник — независимо от другого, со случайной сменой фазы примерно каждые 10⁻⁸ с. Место, где в этот момент был максимум, через долю секунды случайно станет минимумом, и глаз (да и любой прибор) просто увидит усреднённую, ровную освещённость — устойчивой картины чередующихся светлых и тёмных полос не возникнет. Поэтому для наблюдения интерференции нужно особое условие:

Когерентные волны — волны одинаковой частоты, разность фаз которых в любой точке пространства остаётся постоянной во времени.

Заметьте. Получить когерентные источники света из двух независимых ламп невозможно в принципе — именно поэтому свет двух окон в комнате никогда не образует видимых интерференционных полос на стене, хотя формально складываются волны от двух источников. Единственный надёжный способ — разделить один и тот же волновой фронт на два (например, пропустив свет через две узкие щели или отразив от двух поверхностей тонкой плёнки): раз оба вторичных источника колеблются «от одного и того же исходного цуга», их случайные скачки фазы происходят синхронно, и разность фаз между ними остаётся постоянной.

2. Условия максимума и минимума: разность хода

Пусть волны от двух когерентных источников проходят до точки наблюдения разные расстояния r₁ и r₂. Разность этих расстояний называют разностью хода:

Оптическая разность хода $\Delta =r₂-r₁$ — разность расстояний, которые проходят до данной точки волны от двух когерентных источников.

Результат сложения волн в точке зависит от того, сколько длин волн укладывается в этой разности:

Условие максимума: $\Delta =m\lambda (m=0,\pm 1,\pm 2,\dots )$ — в разности хода укладывается целое число длин волн, волны приходят в фазе.

Условие минимума: $\Delta =(m+½)\lambda$ — в разности хода укладывается нечётное число полуволн, волны приходят в противофазе.

Пример. Пусть λ=600 нм. Если разность хода до точки А равна 1800 нм = 3λ (целое число длин волн, m=3) — в точке А максимум. Если разность хода до точки Б равна $1500нм=2,5\lambda =(2+½)\lambda (m=2)$ — в точке Б минимум. Между этими точками разность хода меняется непрерывно, поэтому максимумы и минимумы чередуются регулярно — это и создаёт видимую полосатую картину.

3. Опыт Юнга: интерференция от двух щелей

Первым, кто в 1801 году сумел практически реализовать нужное для интерференции условие когерентности и убедительно продемонстрировал волновую природу света, был Томас Юнг:

Свет от одного источника S проходит через две узкие щели S₁ и S₂ в непрозрачном экране, расположенные близко друг к другу (на расстоянии d). Поскольку обе щели освещены одним и тем же волновым фронтом, они становятся когерентными вторичными источниками. Их волны, накладываясь на удалённом экране (на расстоянии L от щелей), образуют устойчивую систему чередующихся светлых и тёмных полос.

Расстояние между соседними светлыми полосами (ширину интерференционной полосы) можно найти, если учесть, что при малом угле расхождения лучей разность хода приблизительно равна $\Delta \approx d·sin\theta \approx d·\left(\frac{x}{L}\right)$, где x — расстояние на экране от центральной полосы. Подставив условие максимума $\Delta =m\lambda$, получаем положение m-го максимума $xₘ=\frac{m\lambda L}{d}$, а расстояние между соседними максимумами:

Ширина интерференционной полосы: $\Delta x=\frac{\lambda L}{d}$, где λ — длина волны света, L — расстояние от щелей до экрана, d — расстояние между щелями.

Пример. При $d=0,5$ мм, $L=2$ м и $\lambda =600$ нм:

$\Delta x=600·10⁻⁹·\frac{2}{0,5·10⁻³}=2,4·10⁻³м=2,4мм$ — полосы достаточно широкие, чтобы их было легко разглядеть невооружённым глазом на экране. Именно эта формула превращает опыт Юнга в измерительный инструмент: измерив на опыте Δx, L и d, можно вычислить неизвестную длину волны света — так, собственно, длину волны видимого света и измерили впервые.

Заметьте. Прямо в центре картины (на равном расстоянии от S₁ и S₂) разность хода всегда равна нулю — там всегда максимум, независимо от длины волны. Именно поэтому при освещении белым светом центральная полоса остаётся белой, а по обе стороны от неё соседние максимумы для разных цветов чуть смещены (так как Δx зависит от λ) — картина расцвечивается радужными полосами, постепенно смешиваясь в белый свет из-за наложения множества длин волн.

4. Интерференция в тонких плёнках

Со вторым классическим случаем интерференции сталкивается каждый, кто видел радужные разводы бензина на луже или переливы мыльного пузыря — им не нужны никакие щели, роль двух когерентных источников здесь играют две поверхности одной и той же тонкой прозрачной плёнки:

Часть света отражается от верхней поверхности плёнки сразу (луч 1); другая часть проходит в плёнку, отражается от нижней поверхности и возвращается наружу (луч 2). Оба луча происходят от одного и того же падающего луча, поэтому они когерентны — а раз прошли разные пути (луч 2 дополнительно прошёл через толщу плёнки дважды), между ними есть разность хода, зависящая от толщины плёнки h, её показателя преломления n и угла падения. Складываясь, эти два луча дают на выходе то усиление, то ослабление — в зависимости от того, для какой именно длины волны в данном месте плёнки выполняется условие максимума.

Заметьте. Реальная толщина мыльной плёнки или масляного пятна неодинакова в разных местах (плёнка стекает, утончается неравномерно), поэтому условие максимума для одной и той же длины волны выполняется в одних местах плёнки и не выполняется в других. А поскольку условие максимума зависит ещё и от λ, для разных цветов «правильная» толщина оказывается разной. В результате плёнка расцвечивается пятнами и разводами всех цветов радуги, а рисунок этих разводов постоянно меняется по мере того, как меняется (утончается, стекает) толщина плёнки, — понаблюдайте за мыльным пузырём: цветные разводы на нём «текут» именно поэтому.

Пример. Важная тонкость, которую стоит просто иметь в виду: при отражении от границы с оптически более плотной средой волна дополнительно «теряет» половину длины волны по фазе (это отдельный волновой эффект, который здесь не выводится подробно), а при отражении от менее плотной среды — нет. Из-за этого для луча 1 (отражение воздух→плёнка, плёнка плотнее воздуха) это дополнительное слагаемое есть, а для луча 2 (отражение плёнка→воздух на нижней поверхности) — нет. Эта поправка на пол-длины волны и определяет, окажется ли данная толщина плёнки в итоге местом максимума или минимума для заданного цвета, — без неё, например, не получилось бы объяснить, почему очень тонкая плёнка (h→0) выглядит не ярко-белой, а тёмной.

5. Применения интерференции

Интерференция — не только красивый визуальный эффект, но и работающий инженерный инструмент:

Просветление оптики. На линзы фотоаппаратов, биноклей и очков наносят тонкую плёнку, толщину которой специально подбирают так, чтобы для отражённого света (обычно в середине видимого спектра, зелёного) выполнялось условие минимума. Тогда отражённый свет гасится интерференцией, а значит, весь свет остаётся в прошедшем пучке — линза меньше бликует и пропускает больше света. Именно поэтому просветлённые линзы отливают характерным сиреневато-фиолетовым цветом: гасится в первую очередь зелёный, а отражённые от него остатки — как раз смесь синего и красного.

Интерферометры. Приборы, использующие интерференцию для сверхточных измерений расстояний, толщин плёнок и показателей преломления, — поскольку сдвиг всего на четверть длины волны (доли микрометра) уже заметно смещает интерференционную картину, такой способ измерения на порядки точнее обычной линейки.

Проверка качества оптических поверхностей. Кольца Ньютона (интерференционная картина в тонком воздушном зазоре между плоским стеклом и слабо выпуклой линзой) позволяют по форме колец обнаружить отклонения поверхности линзы от идеальной сферы с точностью до долей длины волны света — так контролируют качество линз на производстве.

6. Главный вывод

Соберём занятие в одну картину. Интерференция — устойчивое перераспределение интенсивности света в пространстве при наложении когерентных волн: там, где разность хода $\Delta =m\lambda$, — максимум, там, где $\Delta =(m+½)\lambda$, — минимум.

Обычные независимые источники света не когерентны из-за случайных скачков фазы, поэтому для наблюдения интерференции один и тот же волновой фронт нужно разделить на два — так поступают в опыте Юнга (две щели, ширина полос $\Delta x=\frac{\lambda L}{d}$) и в тонких плёнках (две поверхности одной плёнки). Само существование устойчивой, воспроизводимой картины чередующихся полос — экспериментальное доказательство волновой природы света, которое лучевая (геометрическая) оптика в принципе объяснить не может.

На следующем занятии мы разберём вторую волновую особенность света — дифракцию, тесно связанную с интерференцией и объясняющую, например, почему свет способен слегка «заходить» в область геометрической тени.

---

Разбор задач на занятии

Задача 1. В опыте Юнга расстояние между щелями d=0,4 мм, расстояние до экрана L=1,5 м. Ширина интерференционной полосы на экране оказалась равна 2,25 мм. Найти длину волны света.

Решение. Из формулы $\Delta x=\frac{\lambda L}{d}$ выразим

$\lambda =\frac{\Delta x·d}{L}=2,25·10⁻³·\frac{0,4·10⁻³}{1,5}=6·10⁻⁷м=600нм$ — жёлто-оранжевый свет.

Задача 2. В опыте Юнга используют лазер с длиной волны 650 нм, расстояние до экрана 2 м. Какое расстояние между щелями нужно взять, чтобы ширина полосы была равна 1,3 мм?

Решение. Из $\Delta x=\frac{\lambda L}{d}$ выразим $d=\frac{\lambda L}{\Delta x}=650·10⁻⁹·\frac{2}{1,3·10⁻³}=1·10⁻³м=1мм$.

Задача 3. Разность хода двух когерентных волн в некоторой точке равна 2,5 мкм, длина волны света 500 нм. Определить, максимум или минимум наблюдается в этой точке.

Решение. Найдём, сколько длин волн укладывается в разности хода: $\frac{\Delta }{\lambda }=\frac{2,5·10⁻⁶}{500·10⁻⁹}=5$ — целое число, значит Δ=5λ, выполняется условие максимума (m=5).

Задача 4. На мыльную плёнку с показателем преломления n=1,33, находящуюся в воздухе, падает свет с длиной волны 600 нм по нормали к поверхности. Оценить наименьшую толщину плёнки (кроме нулевой), при которой отражённый свет этой длины волны усиливается интерференцией, если считать, что дополнительная разность хода из-за отражения на границах эквивалентна половине длины волны (см. пример в тексте урока).

Решение. Оптическая разность хода лучей 1 и 2 при нормальном падении складывается из удвоенного оптического пути в плёнке 2nh и «скачка» в λ/2 из-за отражения на верхней (оптически более плотной) границе: $\Delta =2nh+\frac{\lambda }{2}$. Для максимума нужно Δ=mλ. Наименьшая ненулевая толщина получается при m=1: $2nh=\lambda -\frac{\lambda }{2}=\frac{\lambda }{2}$, откуда $h=\frac{\lambda }{4n}=\frac{600}{4·1,33}\approx 113нм$ — толщина плёнки, дающая наиболее яркое отражение этого цвета, составляет чуть больше одной десятой микрометра.

Задача 5. Объяснить с точки зрения интерференции, почему просветляющее покрытие линзы, рассчитанное на подавление отражения зелёного света (λ≈550 нм), всё равно оставляет на линзе слабый сиреневый (фиолетово-красный) отблеск, а не делает её поверхность абсолютно чёрной.

Решение. Толщина покрытия подобрана так, чтобы условие минимума (гашения) выполнялось точно для длины волны 550 нм (зелёный свет) — именно эта часть спектра почти полностью гасится в отражённом луче. Для соседних длин волн (синей и красной областей спектра) та же самая толщина плёнки уже не даёт точного условия минимума — эти цвета гасятся заметно слабее и продолжают частично отражаться. Глаз воспринимает оставшуюся смесь слабого синего и слабого красного света (без зелёной составляющей) как сиреневый оттенок — характерный цвет просветлённой оптики.

---

Задачи для самостоятельного решения (домашнее задание)

Ответы приведены в конце документа для самопроверки.

Задача 1. В опыте Юнга d=0,3 мм, L=2,4 м, λ=480 нм. Найти ширину интерференционной полосы на экране.

Задача 2. Ширина интерференционной полосы в опыте Юнга оказалась равна 3 мм при L=3 м и d=0,5 мм. Найти длину волны использованного света и определить, к какой части видимого спектра она относится.

Задача 3. Разность хода двух когерентных волн равна 3,25 мкм при длине волны 500 нм. Максимум или минимум наблюдается в этой точке?

Задача 4. Почему интерференцию света от двух отдельных, независимо горящих ламп накаливания никогда не удаётся пронаблюдать, даже если поставить лампы очень близко друг к другу?

Задача 5. В опыте Юнга источник заменили: вместо монохроматического (одноцветного) лазера стали использовать белый свет. Что произойдёт с центральной интерференционной полосой и с полосами по бокам от неё? Объяснить, используя формулу $\Delta x=\frac{\lambda L}{d}$.

---

Основные выводы

• Интерференция — устойчивое перераспределение интенсивности при наложении когерентных волн: усиление там, где разность хода Δ=mλ, ослабление — где Δ=(m+½)λ.
• Когерентные волны — волны одной частоты с постоянной во времени разностью фаз. Независимые источники света некогерентны; когерентные вторичные источники получают, разделяя один и тот же волновой фронт (щели, поверхности плёнки).
• В опыте Юнга свет от двух щелей, разделённых расстоянием d, образует на экране на расстоянии L систему полос шириной $\Delta x=\frac{\lambda L}{d}$.
• Интерференция в тонких плёнках возникает при сложении лучей, отражённых от верхней и нижней поверхностей плёнки; результат (усиление или ослабление данного цвета) зависит от толщины плёнки, её показателя преломления и длины волны, с учётом дополнительного скачка фазы на пол-длины волны при отражении от оптически более плотной среды.
• Практическое применение интерференции: просветление оптики (гашение отражения нужного цвета), интерферометры для сверхточных измерений, контроль формы оптических поверхностей по кольцам Ньютона.
• Сама возможность наблюдать устойчивую интерференционную картину — прямое доказательство волновой природы света, необъяснимое в рамках одной только геометрической (лучевой) оптики.