Урок 83. Дисперсия света. Линзы. Оптическая сила линзы

На двух прошлых занятиях мы считали показатель преломления n постоянным числом, характерным для данного вещества, — и закрыли глаза на маленькую оговорку, которая давно напрашивалась: белый свет от солнца или лампы на самом деле не одноцветный. Сегодня разберёмся, что происходит, когда это допущение снимают, — и увидим, что именно из этого получается радуга и работа призмы. А затем перейдём к практическому применению законов преломления — линзам, из которых состоят очки, микроскопы, объективы фотоаппаратов и собственный хрусталик глаза.

1. Дисперсия света

Ньютон в 1666 году пропустил узкий пучок солнечного света через стеклянную призму и получил на экране не просто размытое белое пятно, а яркую цветную полосу — от красного до фиолетового. Ключевой опыт был в том, что он выделил из этой полосы, например, зелёный луч и пропустил его через вторую призму: тот прошёл насквозь, лишь чуть отклонившись, но не разложился дальше. Вывод был неизбежен: белый свет не становится цветным в призме — он уже состоит из всех этих цветов, а призма их всего лишь разделяет.

Дисперсия света — зависимость показателя преломления вещества от длины волны (или частоты) света.

Причина в следующем: скорость света в веществе (в отличие от вакуума) неодинакова для разных длин волн, поэтому и показатель преломления $n=\frac{c}{v}$ получается разным. У подавляющего большинства прозрачных веществ показатель преломления выше для более коротких волн: $n_{фиолетового}>n_{красного}$. Значит, по закону преломления $\frac{sin\alpha }{sin\beta }=n$, при одном и том же угле падения фиолетовый луч отклоняется от нормали сильнее, чем красный, — отсюда и веер цветов на выходе из призмы:

Заметьте. Порядок цветов в спектре — не случайность и не соглашение художников, а прямое следствие закона преломления: красный (самая длинная волна видимого света) отклоняется меньше всего, фиолетовый (самая короткая) — больше всего. Радуга в небе возникает по той же причине, только роль призмы играют капли дождя: внутри каждой капли свет преломляется на входе, один раз отражается от задней стенки капли и снова преломляется на выходе — и оба преломления разлагают белый свет так же, как это делает призма.

Пример. Именно дисперсия — причина хроматической аберрации в дешёвых линзах: поскольку n зависит от длины волны, лучи разных цветов от одной точки предмета фокусируются линзой не в одну точку, а в чуть разные, из-за чего по краям изображения появляется цветная кайма. Хорошие объективы собирают из нескольких линз с разными n именно для того, чтобы скомпенсировать этот эффект.

2. Линзы: определение и виды

Перейдём от призмы, которая лишь однократно преломляет свет, к оптическому элементу, который встречается куда чаще, — линзе.

Линза — прозрачное тело, ограниченное с двух сторон криволинейными (обычно сферическими) поверхностями или сферической и плоской поверхностью, предназначенное для преломления света определённым образом.

По форме и оптическому действию линзы делятся на два больших семейства:

Собирающие линзы толще в середине, чем по краям. Параллельный пучок лучей после прохождения такой линзы сходится в одной точке.

Рассеивающие линзы тоньше в середине, чем по краям. Параллельный пучок лучей после такой линзы расходится, как будто он вышел из одной точки перед линзой.

Заметьте. «Толще в середине» — не строгое физическое определение, а удобный практический признак: собирающая линза, которую держишь в руках, всегда толще посередине, чем по краям, даже если одна из её поверхностей вогнутая (собирающий мениск, как в очках для дальнозорких). У рассеивающей — наоборот, независимо от конкретной формы поверхностей.

3. Оптическая ось, оптический центр, фокус

Дальше все рассуждения ведутся в приближении тонкой линзы — толщина линзы много меньше радиусов кривизны её поверхностей и расстояний до предметов и изображений, поэтому преломление на обеих поверхностях линзы можно считать происходящим как бы в одной плоскости.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры кривизны обеих поверхностей линзы (для линзы с одной плоской поверхностью — перпендикуляр к ней, проходящий через центр кривизны второй).

Оптический центр линзы (O) — точка на главной оптической оси, через которую луч проходит, не меняя направления (для симметричной линзы совпадает с геометрическим центром).

Что происходит с пучком, параллельным главной оптической оси, показано на чертеже:

Фокус линзы (F) — точка, в которой пересекаются лучи, шедшие до линзы параллельно главной оптической оси (для собирающей линзы), либо точка, в которой пересекаются продолжения этих же лучей после линзы (для рассеивающей).

Фокусное расстояние (F) — расстояние от оптического центра линзы до её фокуса.

У собирающей линзы фокус действительный: реальные лучи света на самом деле сходятся в этой точке, там можно поставить экран и увидеть яркую точку (этим способом на уроках демонстрируют, как собирающая линза «выжигает» точку на бумаге, фокусируя солнечные лучи). У рассеивающей линзы фокус мнимый: сами лучи расходятся и никогда не пересекаются, пересекаются лишь их воображаемые продолжения, проведённые в обратную сторону — экран в этой точке ничего не покажет.

Заметьте. У линзы, как правило, два фокуса — по одному с каждой стороны, на одинаковом расстоянии F от оптического центра, поскольку свет можно направить в линзу с любой из двух сторон (обратимость хода лучей работает и здесь). Для тонкой симметричной линзы, окружённой одной и той же средой с обеих сторон, оба фокусных расстояния равны.

4. Оптическая сила линзы

Фокусное расстояние удобно для геометрических построений, но для практики (например, чтобы подобрать очки) удобнее величина, обратная ему:

Оптическая сила линзы: $D=\frac{1}{F}$, где F — фокусное расстояние, взятое в метрах.

Единица оптической силы — диоптрия (дптр): линза с оптической силой 1 дптр имеет фокусное расстояние 1 м. Чем короче фокусное расстояние, тем сильнее линза преломляет лучи и тем больше её оптическая сила — толстая, сильно изогнутая линза-лупа с фокусным расстоянием 5 см имеет оптическую силу $\frac{1}{0,05}=20дптр$, а слабая линза для очков с F=2 м — всего 0,5 дптр.

Знак оптической силы несёт информацию о типе линзы:

Оптическая сила собирающей линзы считается положительной ($D>0$).

Оптическая сила рассеивающей линзы считается отрицательной ($D<0$).

Пример. Очки при близорукости («минус») собраны из рассеивающих линз с отрицательной оптической силой (например, −2,5 дптр — глазной врач так и пишет рецепт, числом со знаком), а очки при дальнозоркости («плюс») — из собирающих, с положительной оптической силой (+2,5 дптр). Число диоптрий в рецепте на очки — это и есть оптическая сила D в определении выше, только домноженная на минус там, где линза рассеивающая.

Заметьте. Если сложить вплотную две тонкие линзы, их оптические силы складываются: $D=D₁+D₂$ — это самая частая практическая формула, ей пользуется каждый, кто подбирает очки или собирает объектив из нескольких линз. Складывать сами фокусные расстояния так просто нельзя — именно поэтому оптики оперируют диоптриями, а не сантиметрами фокусного расстояния.

5. Главный вывод

Соберём занятие в одну картину. Дисперсия — зависимость показателя преломления от длины волны — объясняет, почему призма (и дождевая капля) разлагают белый свет в спектр, причём красный отклоняется меньше всего, а фиолетовый — больше всего. Линза — прозрачное тело, ограниченное криволинейными поверхностями; по знаку эффекта на параллельный пучок линзы делятся на собирающие (толще в середине, действительный фокус, $D>0$) и рассеивающие (тоньше в середине, мнимый фокус, $D<0$). Оптическая сила $D=\frac{1}{F}$, измеряемая в диоптриях, — главная практическая характеристика линзы: она прямо складывается при соединении линз и прямо указывается в рецепте на очки. На следующем занятии эти понятия позволят научиться строить изображения предметов в линзах и пользоваться формулой тонкой линзы, связывающей расстояния до предмета и до изображения с фокусным расстоянием.

Разбор задач на занятии

Задача 1. Фокусное расстояние собирающей линзы равно 25 см. Найти её оптическую силу.

Решение. Переведём в метры: $F=0,25$ м. $D=\frac{1}{F}=\frac{1}{0,25}=4$ дптр (со знаком «плюс», так как линза собирающая).

Задача 2. Оптическая сила рассеивающей линзы равна −5 дптр. Найти её фокусное расстояние.

Решение. $F=\frac{1}{D}=\frac{1}{-5}=-0,2$ м. Знак минус здесь отражает тот факт, что фокус мнимый и находится по ту же сторону линзы, откуда идёт свет; по модулю фокусное расстояние равно $0,2м=20см$.

Задача 3. Две тонкие линзы — собирающая с оптической силой +6 дптр и рассеивающая с оптической силой −4 дптр — сложены вплотную. Найти оптическую силу и фокусное расстояние получившейся системы. Собирающей или рассеивающей окажется система в целом?

Решение. Оптические силы складываются: $D=D₁+D₂=6+\left(-4\right)=2$ дптр. Результат положителен — система в целом действует как собирающая линза с фокусным расстоянием $F=\frac{1}{D}=\frac{1}{2}=0,5м=50$ см.

Задача 4. Собирающая линза имеет фокусное расстояние 10 см. На какое расстояние от линзы нужно поместить точечный источник света, чтобы после линзы лучи шли параллельным пучком? Объяснить, опираясь на обратимость хода лучей.

Решение. По определению фокуса, именно параллельный пучок после прохождения линзы сходится в фокусе. По свойству обратимости хода лучей верно и обратное: источник, помещённый в фокус линзы, после прохождения через неё даёт строго параллельный пучок. Значит, источник нужно поместить точно в фокус — на расстоянии 10 см от линзы. Это именно то, как устроен прожектор или фонарик с параболическим отражателем (для линз и зеркал принцип один и тот же).

Задача 5. Красный и фиолетовый лучи падают из воздуха на стеклянную призму под одним и тем же углом. Показатель преломления стекла для красного света $n_{к}=1,51$, для фиолетового $n_{ф}=1,53$. У какого луча угол преломления окажется меньше и почему? Оценить, для какого из двух лучей отклонение от первоначального направления будет больше.

Решение. По закону преломления $sin\beta =\frac{sin\alpha }{n}$. Чем больше $n$, тем меньше $sin\beta$, тем меньше сам угол β. Так как $n_{ф}>n_{к}$, угол преломления фиолетового луча меньше — он сильнее отклоняется от первоначального направления к нормали. Соответственно, суммарное отклонение направления луча призмой (складывающееся из отклонений на обеих гранях) для фиолетового луча больше, чем для красного, — именно поэтому фиолетовый край спектра оказывается дальше всего от продолжения исходного луча.

Задачи для самостоятельного решения (домашнее задание)

Ответы приведены в конце документа для самопроверки.

Задача 1. Оптическая сила линзы очков равна +2 дптр. Найти фокусное расстояние и определить тип линзы (собирающая или рассеивающая).

Задача 2. Фокусное расстояние рассеивающей линзы по модулю равно 40 см. Записать её оптическую силу с учётом знака.

Задача 3. Две собирающие линзы с оптическими силами +3 дптр и +7 дптр сложены вплотную. Найти оптическую силу и фокусное расстояние системы.

Задача 4. Врач выписал пациенту очки −1,5 дптр. Через какое время (для правильного объяснения — на каком расстоянии) от линзы очков сойдётся в фокусе пучок лучей, параллельных главной оптической оси, после прохождения через эту линзу, и является ли этот фокус действительным или мнимым?

Задача 5. Объяснить, почему при прохождении через плоскопараллельную стеклянную пластинку (с параллельными друг другу гранями) белый свет практически не разлагается в видимый на глаз спектр, хотя дисперсия в стекле пластинки присутствует точно так же, как в призме.

Основные выводы

• Дисперсия света — зависимость показателя преломления вещества от длины волны. У большинства веществ n больше для коротких волн, поэтому фиолетовый свет преломляется сильнее красного — отсюда разложение белого света в спектр призмой и каплями дождя (радуга).
• Линза — прозрачное тело, ограниченное криволинейными поверхностями. Собирающие линзы толще в середине и дают действительный фокус ($D>0$); рассеивающие — тоньше в середине и дают мнимый фокус ($D<0$).
• Главная оптическая ось проходит через центры кривизны поверхностей линзы; оптический центр — точка, которую луч проходит без изменения направления; фокус — точка схождения (для собирающей) или точка схождения продолжений (для рассеивающей) лучей, шедших параллельно главной оптической оси.
• Оптическая сила линзы D=1/F измеряется в диоптриях (дптр); при соединении тонких линз вплотную оптические силы складываются: $D=D₁+D₂$.
• Знак оптической силы указывает тип линзы: «плюс» — собирающая (в рецептах на очки — при дальнозоркости), «минус» — рассеивающая (при близорукости).
• Обратимость хода лучей работает и для линз: источник, помещённый в фокус собирающей линзы, даёт после неё параллельный пучок.