Урок 82. Преломление света. Полное внутреннее отражение

На прошлом занятии мы разобрали, что происходит со светом, когда он встречает непрозрачную (или отражающую) поверхность и поворачивает назад в ту же среду. Но чаще на границе раздела свет ведёт себя иначе: он проходит во вторую среду, только меняя направление, — именно поэтому ложка в стакане с чаем «переламывается», а дно бассейна кажется ближе, чем есть на самом деле. Сегодня разберём это явление — преломление — и его удивительное следствие, которое лежит в основе волоконной оптики и заставляет бриллиант сверкать: полное внутреннее отражение.

1. Явление преломления света: в чём причина

Преломление света — изменение направления распространения света на границе раздела двух прозрачных сред.

Причина преломления — то, что свет распространяется в разных средах с разной скоростью. В вакууме скорость света максимальна и равна c≈3·10⁸ м/с; в любом веществе она меньше. Когда фронт волны подходит к границе под углом, одна его часть уже вошла в новую среду и там замедлилась (или ускорилась), а другая ещё движется в старой среде с прежней скоростью, — из-за этого фронт волны разворачивается, и луч меняет направление. Заметьте: если луч падает на границу точно вдоль нормали (перпендикулярно поверхности), скорость меняется, а направление — нет, преломления не происходит, свет просто проходит дальше по прямой.

Заметьте. Заодно на границе всегда происходит и частичное отражение: часть энергии падающего света возвращается в первую среду по закону отражения, разобранному на прошлом занятии, а часть проходит во вторую среду, преломляясь. Именно поэтому в оконном стекле ночью, помимо вида на улицу, видно и слабое собственное отражение комнаты — оба луча существуют одновременно.

2. Показатель преломления и закон преломления

Чтобы охарактеризовать, насколько сильно вещество замедляет свет, вводят показатель преломления:

Абсолютный показатель преломления среды: $n=\frac{c}{v}$, где c — скорость света в вакууме, $v$ — скорость света в данной среде. Так как v всегда меньше c, показатель преломления любого вещества больше единицы (для вакуума $n=1$, для воздуха $n\approx 1,0003$ — практически как для вакуума).

Оптически более плотной называют среду с бóльшим показателем преломления (в ней свет распространяется медленнее); оптически менее плотной — среду с меньшим n.

Сам закон преломления, найденный экспериментально ещё в XVII веке (Снеллиус, а чуть позже — независимо Декарт), связывает угол падения и угол отражения через показатели сред:

Закон преломления: 1) падающий луч, преломлённый луч и нормаль в точке падения лежат в одной плоскости; 2) отношение синуса угла падения к синусу угла преломления — постоянная величина для данной пары сред, равная относительному показателю преломления:

$\frac{sin\alpha }{sin\beta }=n₂₁=\frac{n₂}{n₁}=\frac{v₁}{v₂}$

Здесь $n₂₁$ — показатель преломления второй среды относительно первой. Он равен отношению скоростей света в средах (в первой, откуда луч приходит, поделённой на скорость во второй, куда он входит) — чем сильнее вторая среда «тормозит» свет по сравнению с первой, тем сильнее луч отклоняется от первоначального направления.

Пример. Свет переходит из воздуха (n₁≈1) в воду (n₂≈1,33). Относительный показатель преломления $n₂₁=\frac{1,33}{1}=1,33$. При угле падения 45°: $sin\beta =\frac{sin45°}{1,33}\approx \frac{0,707}{1,33}\approx 0,532$, откуда β≈32°. Луч заметно приближается к нормали — именно поэтому предмет под водой кажется расположенным иначе, чем на самом деле, а нырять «в то место, где видно рыбу» без поправки на преломление — плохая стратегия.

3. Ход луча: в более плотную среду и обратно

Направление отклонения луча зависит от того, в какую сторону он идёт относительно плотности сред, и здесь легко запутаться, поэтому полезно сравнить оба случая на одном чертеже:

При переходе в оптически более плотную среду ($n₂>n₁$) луч приближается к нормали: $\beta <\alpha$.

При переходе в оптически менее плотную среду ($n₂<n₁$) луч удаляется от нормали: $\beta >\alpha$.

Оба случая — на самом деле один и тот же закон sin α/sin β=n₂₁, просто n₂₁ в одном случае больше единицы, а в другом — меньше. Заметьте также следствие обратимости хода лучей (это свойство сохраняется и при преломлении, не только при отражении): если пустить луч в обратном направлении по пути прежнего преломлённого луча, он в точности повторит путь исходного падающего луча — только в обратную сторону.

Заметьте. Показатель преломления зависит от длины волны света (это явление называется дисперсией и будет отдельной темой), поэтому белый свет, состоящий из волн разных длин, на границе раздела сред слегка «расщепляется» на составляющие цвета — так призма разлагает солнечный луч в радужный спектр. Пока же для простоты мы считаем n постоянным, что хорошо работает для одного конкретного цвета.

4. Полное внутреннее отражение

Раз при переходе из более плотной среды в менее плотную луч удаляется от нормали ($\beta >\alpha$), возникает вопрос: что происходит, если угол падения α настолько велик, что расчётный угол $\beta$ должен был бы превысить 90°? Ответ показывает следующий чертёж:

При малых углах падения луч частично отражается и частично преломляется, уходя во вторую (менее плотную) среду. По мере увеличения угла падения угол преломления растёт быстрее и в какой-то момент достигает 90° — преломлённый луч в этот момент скользит вдоль самой границы раздела, не уходя во вторую среду. Угол падения, при котором это происходит, называют предельным:

Предельный (критический) угол полного внутреннего отражения ${\alpha }_{пр}$ — угол падения, при котором угол преломления равен 90°. Находится из закона преломления при $\beta =90°$ (sin 90°=1):

$sin{\alpha }_{пр}=\frac{n₂}{n₁}$, где $n₁$ — показатель преломления среды, из которой идёт свет (более плотной), $n₂$ — среды, в которую он мог бы преломиться (менее плотной).

Полное внутреннее отражение — явление, при котором весь свет, падающий на границу раздела из оптически более плотной среды под углом, бóльшим предельного ($\alpha >{\alpha }_{пр}$), отражается обратно в первую среду; преломлённого луча при этом не существует вовсе, а не просто становится слабым — отражённый луч уносит всю энергию падающего.

Пример. Для границы стекло—воздух ($n_{стекла}\approx 1,5,n_{воздуха}\approx 1$):

$sin{\alpha }_{пр}=\frac{1}{1,5}\approx 0,667$, откуда ${\alpha }_{пр}\approx 42°$. Для границы вода—воздух ($n\approx 1,33$): $sin{\alpha }_{пр}=\frac{1}{1,33}\approx 0,752$, ${\alpha }_{пр}\approx 49°$. Обратите внимание: чем выше показатель преломления первой (плотной) среды, тем меньше предельный угол — тем «легче» получить полное отражение.

Заметьте. Полное внутреннее отражение — не приближение и не потери на неидеальной полировке, а точный, стопроцентный эффект: при $\alpha >{\alpha }_{пр}$ отражается буквально весь свет, без исключения. Именно поэтому оптические приборы, где важно не терять яркость (перископы, бинокли), устроены на призмах полного отражения, а не на посеребрённых зеркалах: серебряное покрытие всё равно поглощает несколько процентов света при каждом отражении, а полное внутреннее отражение — не поглощает ничего.

5. Применения полного внутреннего отражения

Список применений этого явления не ограничивается учебником — на нём стоит и повседневная техника:

Оптическое волокно. Тонкая стеклянная нить, внутри которой свет, попавший под углом больше предельного, отражается от стенок волокна тысячи раз подряд и без потерь доходит до конца, даже если волокно изогнуто. На этом принципе работает интернет по оптоволоконным кабелям, а также медицинские эндоскопы.

Сверкание бриллианта. У алмаза очень высокий показатель преломления ($n\approx 2,42$), а значит, и маленький предельный угол (≈24°). Огранщики режут грани камня так, чтобы почти весь свет, вошедший сверху, испытывал внутри полное отражение от нижних граней и выходил обратно вверх, к глазу наблюдателя, — отсюда характерная игра света.

Мираж. У поверхности сильно нагретого асфальта слой воздуха менее плотный (оптически), чем воздух выше; лучи от неба, идущие почти вдоль поверхности, испытывают полное внутреннее отражение на границе этих слоёв — глаз видит это как «лужу» с отражением неба там, где никакой воды нет.

6. Главный вывод

Соберём занятие в одну картину. Преломление света — изменение направления луча на границе двух сред, вызванное разной скоростью распространения света в них; характеризуется показателем преломления $n=\frac{c}{v}$. Закон преломления $\frac{sin\alpha }{sin\beta }=n₂₁=\frac{n₂}{n₁}$ связывает углы падения и преломления через показатели сред: при переходе в более плотную среду луч приближается к нормали, при переходе в менее плотную — удаляется от неё. Если свет идёт из более плотной среды в менее плотную под углом больше предельного ($sin{\alpha }_{пр}=\frac{n₂}{n₁}$), преломление вообще не происходит — весь свет полностью отражается обратно: это полное внутреннее отражение, на котором основана работа оптического волокна и огранка драгоценных камней. На следующих занятиях те же законы преломления понадобятся, чтобы разобраться, как линзы строят изображения, — а линза, по сути, и есть поверхность, специально изогнутая для управления преломлёнными лучами.

Разбор задач на занятии

Задача 1. Луч света падает из воздуха на поверхность стекла (n=1,5) под углом 60°. Найти угол преломления.

Решение. По закону преломления

$\frac{sin\alpha }{sin\beta }=n₂₁=\frac{1,5}{1}=1,5$ (воздух — первая среда, стекло — вторая).

$sin\beta =\frac{sin60°}{1,5}\approx \frac{0,866}{1,5}\approx 0,577$, откуда β≈35,3°.

Луч приблизился к нормали, как и должно быть при переходе в более плотную среду.

Задача 2. Луч падает на границу воздух–жидкость под углом 50°, а преломлённый луч образует с нормалью угол 33°. Найти показатель преломления жидкости.

Решение. $n₂₁=\frac{sin\alpha }{sin\beta }=\frac{sin50°}{sin33°}\approx \frac{0,766}{0,545}\approx 1,41$. Поскольку $n_{1\left(воздух\right)}\approx 1$, показатель преломления жидкости $n₂\approx 1,41$ — это близко к показателю преломления, например, глицерина.

Задача 3. Скорость света в некотором стекле равна 2·10⁸ м/с. Найти показатель преломления этого стекла и скорость света, которая была бы в среде с вдвое большим показателем преломления.

Решение. $n=\frac{c}{v}=\frac{3·10⁸}{2·10⁸}=1,5$. Если в другой среде показатель преломления вдвое больше (n'=3), то скорость в ней $v^{\prime }=\frac{c}{n^{\prime }}=\frac{3·10⁸}{3}=1·10⁸$ м/с — ровно вдвое меньше исходной. Это общее правило: скорость света в среде обратно пропорциональна её показателю преломления ($v=\frac{c}{n}$), поэтому увеличение $n$ в $k$ раз всегда уменьшает скорость ровно в k раз.

Задача 4. Найти предельный угол полного внутреннего отражения для границы алмаз–воздух, если показатель преломления алмаза n=2,42.

Решение. $sin{\alpha }_{пр}=\frac{n₂}{n₁}=\frac{1}{2,42}\approx 0,413$, откуда ${\alpha }_{пр}\approx 24,4°$. Малый предельный угол означает, что почти любой луч, идущий изнутри камня к его боковым или нижним граням под сколько-нибудь заметным углом к нормали, полностью отражается, — отсюда яркая игра света в огранке.

Задача 5. Рыба находится под водой ($n=1,33$) и смотрит вверх, на поверхность. При каком угле обзора относительно вертикали рыба перестаёт видеть, что происходит над водой, и вместо этого видит отражение дна («окно Снеллиуса»)? Найти этот угол и объяснить эффект.

Решение. Эффект возникает при полном внутреннем отражении, то есть при угле, большем предельного для границы вода–воздух: sin ${\alpha }_{пр}=\frac{n_{воздух}}{n_{вода}}=\frac{1}{1,33}\approx 0,752$, ${\alpha }_{пр}\approx 49°$. Пока рыба смотрит на поверхность под углом меньше 49° к вертикали, она видит, что происходит над водой (свет извне преломляется и доходит до неё); при бóльших углах луч, который дошёл бы до глаза рыбы, испытывает полное внутреннее отражение от поверхности воды снизу, и вместо неба рыба видит отражённое дно водоёма. Весь надводный мир виден рыбе как бы «сжатым» в конус с раствором около 98° (2·49°) прямо над её головой — это и есть знаменитое «окно Снеллиуса».

Задачи для самостоятельного решения (домашнее задание)

Ответы приведены в конце документа для самопроверки.

Задача 1. Луч света падает из воздуха на поверхность воды ($n=1,33$) под углом 40°. Найти угол преломления.

Задача 2. Луч переходит из воды ($n=1,33$) в воздух, угол падения (внутри воды) равен 20°. Найти угол преломления в воздухе.

Задача 3. Скорость света в некотором веществе равна 1,5·10⁸ м/с. Найти его показатель преломления.

Задача 4. Найти предельный угол полного внутреннего отражения для границы вода–воздух ($n_{воды}=1,33$).

Задача 5. Объяснить, почему полное внутреннее отражение возможно только при переходе света из оптически более плотной среды в менее плотную, а не наоборот (например, из воздуха в стекло), опираясь на закон преломления.

Основные выводы

• Преломление света — изменение направления луча на границе двух сред, вызванное различием скоростей распространения света в них. Показатель преломления $n=\frac{c}{v}$; чем он больше, тем медленнее свет в данной среде и тем среда оптически плотнее.
• Закон преломления: падающий луч, преломлённый луч и нормаль лежат в одной плоскости; $\frac{sin\alpha }{sin\beta }=n₂₁=\frac{n₂}{n₁}=\frac{v₁}{v₂}$.
• При переходе в оптически более плотную среду луч приближается к нормали ($\beta <\alpha$); при переходе в менее плотную — удаляется от неё ($\beta >\alpha$). На границе всегда одновременно происходит частичное отражение.
• Полное внутреннее отражение возникает при переходе из более плотной среды в менее плотную под углом, бóльшим предельного: $sin{\alpha }_{пр}=\frac{n₂}{n₁}$. При $\alpha >{\alpha }_{пр}$ весь свет отражается обратно, преломлённого луча не существует.
• Полное внутреннее отражение используется в оптическом волокне, огранке драгоценных камней, призмах полного отражения в оптических приборах; тот же эффект объясняет миражи и «окно Снеллиуса», через которое рыба видит надводный мир.
• Показатель преломления в общем случае зависит от длины волны (дисперсия) — этим объясняется разложение белого света в спектр призмой.