Урок 81. Геометрическая оптика. Законы отражения света

До сих пор мы почти не касались того, как свет ведёт себя, встречая на своём пути препятствия и границы сред, — а именно это чаще всего и наблюдает глаз: не сам источник, а то, что он освещает. Дальше на нескольких занятиях мы будем строить целый раздел физики — оптику, и начнём с её самой простой и наглядной части, где о волновой природе света можно вовсе забыть и работать одними прямыми линиями — лучами. Сегодняшняя цель — разобраться, что такое световой луч, почему тень имеет чёткую границу, и как именно свет отражается от поверхностей — от школьного зеркала до полированной ложки.

1. Геометрическая оптика и границы её применимости

Геометрическая оптика — раздел оптики, в котором распространение света описывают с помощью прямых линий — световых лучей, полностью отвлекаясь от его волновой природы.

Световой луч — линия, вдоль которой распространяется энергия световой волны. Это, конечно, идеализация: реальный пучок света всегда имеет какую-то ширину, но пока размеры препятствий и отверстий на пути света значительно больше длины световой волны, ходом лучей можно описывать распространение света с высокой точностью — так же, как материальная точка на первых занятиях курса была удобной моделью тела, чьими размерами можно пренебречь.

Источники света бывают точечными (их размерами можно пренебречь по сравнению с расстоянием до освещаемых тел) и протяжёнными. От точечного источника лучи расходятся во все стороны; в зависимости от того, как они направлены относительно друг друга, различают три вида пучков:

Закон прямолинейного распространения света: в однородной прозрачной среде свет распространяется прямолинейно.

Пример. Именно из-за прямолинейности распространения света предметы отбрасывают тень с резкой границей: точечный источник освещает всё, кроме области, полностью закрытой препятствием от его лучей, — граница тени острая. Если источник не точечный, а протяжённый (например, лампа дневного света), у тени появляется размытая кайма — полутень: это область, которая видит лишь часть источника. Солнечное затмение — та же геометрия в масштабе планет: Луна отбрасывает на Землю и тень (полное затмение), и полутень (частное).

Заметьте. Прямолинейность работает только в однородной среде. Мираж в пустыне и «переломленная» на границе воды ложка — это как раз следствие того, что среда неоднородна (слои воздуха разной температуры) или свет переходит из одной среды в другую (воздух — вода); это явление называется преломлением, и ему будет посвящено отдельное занятие.

2. Закон отражения света

Встретив на своём пути границу двух сред — например, поверхность зеркала, воды или полированного металла, — часть света возвращается обратно в первую среду. Это явление и называется отражением света.

Чтобы описать отражение количественно, вводят несколько вспомогательных линий и углов:

Нормаль — перпендикуляр к отражающей поверхности, восставленный в точке падения луча.

Угол падения (α) — угол между падающим лучом и нормалью.

Угол отражения (β) — угол между отражённым лучом и нормалью.

Оба угла отсчитывают именно от нормали, а не от самой поверхности, — это стандарт, который сохранится и в следующем занятии о преломлении, так что стоит привыкнуть сразу.

Закон отражения света состоит из двух утверждений:

1. Падающий луч, отражённый луч и нормаль, восставленная в точке падения, лежат в одной плоскости.
2. Угол отражения равен углу падения: β = α.

Заметьте. Второе утверждение — то, что обычно и подразумевают, говоря «закон отражения», но первое не менее важно: оно запрещает лучу «вильнуть» в сторону из плоскости падения. Без этого условия равенство углов ничего бы не гарантировало — можно было бы отразить луч под тем же углом к нормали, но развернув его, скажем, на 90° вбок.

Пример: обратимость световых лучей. Если луч, идущий по пути падающего луча, обратить — пустить его в обратном направлении вдоль бывшего отражённого луча, — он в точности повторит путь первого луча в обратную сторону. Это свойство называют обратимостью хода лучей, и оно прямо следует из равенства углов α и β: поменяв местами «падающий» и «отражённый», сам чертёж не изменится.

3. Зеркальное и рассеянное отражение

Закон отражения работает всегда и для любой поверхности, но результат выглядит по-разному в зависимости от того, насколько эта поверхность гладкая:

Зеркальное (направленное) отражение — отражение от гладкой поверхности, неровности которой значительно меньше длины световой волны. Параллельный пучок остаётся параллельным пучком: все лучи отражаются по одному и тому же закону, углы падения у них одинаковы — и изображение источника получается чётким.

Рассеянное (диффузное) отражение — отражение от шероховатой поверхности. Закон отражения выполняется для каждого отдельного луча в отдельности, но нормали в разных точках такой поверхности направлены по-разному, поэтому параллельный пучок после отражения разлетается во все стороны.

Заметьте. Именно диффузное отражение позволяет нам видеть большинство предметов вокруг: стол, стену, страницу учебника. Если бы все поверхности отражали свет только зеркально, мы видели бы отражённые в них источники света, а не сами поверхности — как в комнате смеха или на поверхности пруда в тихую погоду. Полированная поверхность отражает зеркально, матовая — рассеянно; отшлифуйте кусок металла — и он начнёт «показывать» отражения, хотя закон отражения на его поверхности выполнялся всегда, просто раньше неровности были больше длины волны света.

4. Плоское зеркало: построение и свойства изображения

Плоское зеркало — зеркало с плоской отражающей поверхностью, простейший и самый привычный оптический прибор. Изображение точки в нём строят, применяя закон отражения к двум произвольным лучам, идущим от этой точки:

Оба отражённых луча (сплошные) расходятся так, что глазу кажется, будто они вышли из одной точки за зеркалом (пунктирные продолжения). Это и есть изображение S' — но реальные лучи там не пересекаются, свет туда физически не попадает. Отсюда и определение:

Мнимое изображение — изображение, образованное не самими лучами, а их продолжениями; на экране его получить нельзя, но глаз (или любая собирающая система) воспринимает его как настоящее, потому что расходящиеся лучи, попадая в глаз, «выглядят» так, будто вышли именно оттуда.

Из построения следуют три главных свойства изображения в плоском зеркале, и все три доказываются одной и той же геометрией равных треугольников:

• Изображение мнимое.
• Изображение равно предмету по размеру (не увеличено и не уменьшено).
• Изображение расположено симметрично предмету относительно плоскости зеркала: расстояние от предмета до зеркала равно расстоянию от зеркала до изображения, d' = d.

Пример. Встав перед зеркалом, вы видите себя «как наяву» — потому что попадающие в глаз лучи неотличимы от тех, что исходили бы из настоящего человека за стеклом. При этом изображение зеркально развёрнуто не «слева направо», как говорят в быту, а спереди назад — вдоль направления, перпендикулярного зеркалу: то, что было ближе к зеркалу (нос), в изображении оказывается ближе к вам; левая рука человека в зеркале визуально оказывается напротив вашей правой лишь потому, что вы мысленно разворачиваете отражение к себе лицом.

Заметьте. Практический вывод из свойства d'=d — стандартная школьная задача: чтобы увидеть в зеркале своё изображение целиком, достаточно зеркала высотой ровно в половину роста человека, независимо от того, как далеко он от зеркала стоит. Углы падения и отражения от макушки и от ступней ровно вдвое «сжимают» нужный участок зеркала — доказательство разберём среди задач.

5. Главный вывод

Соберём занятие в одну картину. Геометрическая оптика описывает свет прямыми лучами, пока размеры препятствий много больше длины световой волны; в однородной среде эти лучи прямолинейны, отсюда — резкие тени от точечных источников. На границе сред часть света отражается по закону отражения: падающий луч, отражённый луч и нормаль лежат в одной плоскости, а угол отражения равен углу падения. Гладкая поверхность даёт зеркальное отражение (чёткое изображение источника), шероховатая — рассеянное (это то, чем мы видим большинство окружающих предметов). Применяя закон отражения к двум лучам от одной точки, строят изображение в плоском зеркале: оно мнимое, равное предмету по размеру и расположено симметрично ему относительно зеркала. На следующем занятии тот же арсенал понятий — луч, нормаль, угол — будет работать при переходе света из одной среды в другую, только вместо равенства углов появится более сложный закон преломления.

Разбор задач на занятии

Задача 1. Угол падения луча на плоское зеркало равен 40°. Найти угол отражения и угол между падающим и отражённым лучами.

Решение. По закону отражения угол отражения равен углу падения: β=α=40°. Угол между лучами отсчитывается не от нормали, а между самими лучами: он равен сумме α и β, то есть 40°+40°=80°.

Задача 2. Луч падает на зеркало так, что угол между падающим лучом и поверхностью зеркала равен 25°. Найти угол падения (от нормали) и угол между падающим и отражённым лучами.

Решение. Угол падения отсчитывается от нормали, а нормаль перпендикулярна поверхности, поэтому угол падения α=90°−25°=65°. Угол отражения тоже 65°, угол между лучами: 65°+65°=130°. (Проверка: угол между лучами и «зазор» у поверхности в сумме должны давать 180°: 130°+25°+25°=180° — сходится.)

Задача 3. Плоское зеркало повернули на угол φ=15°, оставив падающий луч неизменным. На какой угол повернётся отражённый луч?

Решение. Пусть до поворота угол падения был α, тогда отражённый луч отклонён от продолжения падающего луча на угол 180°−2α. При повороте зеркала на φ нормаль тоже поворачивается на φ, значит новый угол падения — α+φ (или α−φ, в зависимости от направления поворота), а отражённый луч отклоняется уже на 180°−2(α+φ). Разность — поворот отражённого луча — равна 2φ=30°. Это классический результат: при повороте зеркала на угол φ отражённый луч поворачивается на 2φ — вдвое больше; на этом принципе устроены зеркальные гальванометры и некоторые дальномеры.

Задача 4. Человек ростом 170 см хочет увидеть себя в плоском зеркале целиком, от макушки до ступней. Какой минимальной высоты должно быть зеркало и как его нужно повесить? Зависит ли ответ от расстояния человека до зеркала?

Решение. Пусть глаза человека находятся на высоте h_г от пола. Луч от макушки до глаз отражается в точке, лежащей ровно посередине по высоте между макушкой и глазами (равенство углов падения и отражения даёт равнобедренный треугольник); аналогично луч от ступней до глаз отражается в точке посередине между ступнями и глазами. Значит, нужный участок зеркала тянется от середины «макушка–глаза» до середины «ступни–глаза», а это ровно половина полного роста — 85 см, независимо от того, где находятся глаза по высоте и насколько далеко человек стоит от зеркала (расстояние в построении вообще не участвует — важны только высоты точек). Нижний край зеркала нужно повесить на высоте, равной половине расстояния от пола до глаз.

Задача 5. Два плоских зеркала расположены под прямым углом друг к другу. Луч света падает на первое зеркало под углом 30°, отражается и попадает на второе. Найти угол падения луча на второе зеркало и показать, что луч, вышедший после отражения от второго зеркала, идёт параллельно самому первому падающему лучу (но в противоположную сторону).

Решение. После первого отражения луч идёт под углом 30° к нормали первого зеркала, то есть под углом 60° к самому зеркалу. Поскольку зеркала перпендикулярны, нормаль второго зеркала перпендикулярна нормали первого; несложно показать (через сумму углов треугольника, образованного двумя зеркалами и лучом между ними), что угол падения на второе зеркало равен 90°−30°=60°, а значит и угол отражения от него — тоже 60°. Суммарный поворот луча после двух отражений от перпендикулярных зеркал всегда равен 180° — луч выходит строго антипараллельно исходному, на этом принципе устроен уголковый отражатель, применяемый, например, в световозвращающих катафотах на дороге.

Задачи для самостоятельного решения (домашнее задание)

Ответы приведены в конце документа для самопроверки.

Задача 1. Угол между падающим и отражённым лучами на плоском зеркале равен 100°. Найти угол падения и угол отражения.

Задача 2. Луч падает на зеркало под углом 20° к самой поверхности зеркала. Найти угол падения от нормали и угол отражения.

Задача 3. Плоское зеркало повернули на 12°. На сколько градусов повернулся отражённый луч, если падающий луч оставался неподвижным?

Задача 4. Девочка ростом 150 см хочет видеть в зеркале себя целиком. Какой минимальной высоты должно быть зеркало? Изменится ли ответ, если девочка отойдёт от зеркала вдвое дальше?

Задача 5. Объяснить своими словами, почему страницу книги видно под любым углом зрения, а блик от лакового покрытия обложки — только под определённым, и связать это с видом отражения (зеркальным или рассеянным) от каждой из этих поверхностей.

Основные выводы

• Геометрическая оптика описывает свет прямыми лучами; это приближение работает, пока размеры препятствий много больше длины световой волны. В однородной прозрачной среде свет распространяется прямолинейно — отсюда резкие тени от точечных источников и полутени от протяжённых.
• Угол падения и угол отражения отсчитывают от нормали — перпендикуляра к поверхности в точке падения, а не от самой поверхности.
• Закон отражения света: 1) падающий луч, отражённый луч и нормаль лежат в одной плоскости; 2) угол отражения равен углу падения (β=α). Ход световых лучей обратим.
• Зеркальное отражение — от гладкой поверхности, сохраняет параллельность пучка и даёт чёткое изображение источника; рассеянное (диффузное) — от шероховатой поверхности, разбрасывает параллельный пучок во все стороны и позволяет видеть несветящиеся предметы.
• Изображение в плоском зеркале строится по закону отражения для двух лучей от одной точки предмета; оно мнимое, равно предмету по размеру и расположено симметрично ему относительно зеркала (d'=d).
• При повороте зеркала на угол φ отражённый луч (при неподвижном падающем) поворачивается на 2φ.