Урок 3. Механическое движение. Относительность движения. Система отсчёта

Два первых занятия мы готовили инструменты: выяснили, как устроена наука, что такое физическая величина и как честно измерять её с погрешностью. Теперь настал момент применить всё это к первому настоящему явлению. Мы начинаем раздел, который называется механикой, — а начнём его с самого простого и самого древнего явления на свете: с движения. Простого — на первый взгляд: ведь каждый видел тысячи движущихся тел. Но, как это часто бывает в физике, стоит задать точные вопросы — «движется ли данное тело?», «где именно оно находится?», «как далеко оно ушло?» — и оказывается, что ответить на них без специальных договорённостей невозможно. Сегодня мы установим эти договорённости и тем самым выучим первый абзац языка, на котором будет написана вся кинематика.

1. Механическое движение: первое определение курса

Механическим движением называется изменение положения тела (или его частей) относительно других тел с течением времени.

Прежде чем двигаться дальше, разберём это определение по частям, потому что в нём зашиты сразу два важных смысла. «Изменение положения... относительно других тел» — значит, движение всегда сравнивается с чем-то. «...с течением времени» — значит, движение невозможно без изменений, происходящих последовательно: мгновенного снимка движения не существует, движение — это процесс.

Вот почему примеры механического движения так разнообразны: падающее яблоко, идущий человек, летящий самолёт, вращающееся колесо, маятник часов, Земля, несущаяся по орбите. Заметьте, что слово «механическое» здесь не значит «созданное машиной»: оно означает, что изучается само изменение положения, безотносительно к причинам, его вызвавшим. Почему тело полетело — вопрос динамики, и он подождёт своих занятий; как оно летело — вопрос кинематики, и ей мы займёмся начиная с сегодняшнего дня.

Заметьте. Механическое движение — самый простой из всех видов физических явлений, которые мы перечисляли на первом занятии. Исторически это не случайность: древние наблюдали движение неба, камня, стрелы ещё до всякой науки. Но простота эта обманчива: уже Галилей понял, что свободное падение не описать без опыта и математики, а когда впереди, на более поздних занятиях, мы дойдём до движения по окружности и тел, брошенных под углом, мы увидим, какую глубину прячет в себе эта «простота».

2. Относительность движения: движется — не движется — оба ответа верны

Спросите пассажира сидячего вагона, движется ли он. Он скажет: нет, сижу на месте. Спросите встречающего его на платформе — тот ответит: движется, и ещё как! Оба правы, потому что отвечали про сравнение с разными телами.

Относительность механического движения: тело может быть одновременно неподвижным относительно одних тел и движущимся относительно других. Утверждение «тело движется» не имеет смысла без указания — относительно чего.

Здесь легко запутаться, и причина путаницы заслуживает отдельного разговора. В повседневной жизни мы не говорим «относительно чего» — и по умолчанию имеем в виду Землю: «кресло неподвижно», «машина поехала». Земля для нас — «естественный» центр мира. Но вспомните цепочку теорий с первого занятия: Птолемей считал Землю центром — и прогнозы давал неплохие. Солнце тоже «неподвижно»? Нет: оно несётся вокруг центра Галактики со скоростью около 230 км/с. Галактика? Движется относительно соседних галактик. Ни одного абсолютно неподвижного тела во Вселенной нет — удобный для нас выбор Земли в качестве «недвижимого фона» это не более чем удобство, основанное на масштабе наших повседневных дел.

Пример из жизни. Чемодан в багажнике автобуса неподвижен относительно автобуса, но движется вместе с ним относительно дороги. Рыбка в аквариуме на столе поезда движется относительно земли сложнее всего: её положение меняется из-за сразу трёх движений — поезда, рыбки внутри аквариума и даже Земли под поездом. Кстати, это наблюдение — что сложные движения складываются из простых — ляжет в основу всей кинематики; на занятии о теле, брошенном под углом, мы разложим сложное движение на два независимых простых.

3. Система отсчёта: три элемента договорённости

Чтобы описание движения стало точным, недостаточно сказать «относительно Земли» — нужно зафиксировать договорённость полностью. Такая полная договорённость называется системой отсчёта, и она состоит из трёх частей:

Система отсчёта = тело отсчёта + система координат (начало отсчёта и направление осей), связанная с этим телом, + прибор для измерения времени (часы).

Тело отсчёта — это то тело, относительно которого мы судим о движении: дорога, вагон, берег реки. Выбирается оно произвольно — вопрос лишь удобства, точно так же, как на прошлом занятии выбиралась модель под задачу. Диспетчер, ведущий самолёт на перегоне, выберет Землю; стюардесса, наливающая чай в салоне, пользуется фюзеляжем — ей Земля под крылом только мешала бы.

Система координат превращает слова «где находится тело» в число — координату. Классический пример — шоссе с километровыми столбами:

Часы завершают систему: движение — процесс, а процесс без времени не описать. Как измерять время и с какой погрешностью — мы уже обсуждали на прошлом занятии.

Заметьте. Координата тела зависит от выбора начала отсчёта и направления оси, а вот расстояние между двумя точками — не зависит: автобус на рисунке находится на 15 км от заправки при любом выборе нуля и любом направлении оси. Это различие между «координатой» и «расстоянием» мы будем использовать постоянно: координата — величина, зависящая от соглашения, расстояние — нет.

4. Материальная точка: первая модель курса

На первом занятии, говоря о моделях, мы обещали: первая модель этого курса — материальная точка. Настала её очередь.

Материальная точка — тело, размерами и формой которого в условиях данной задачи можно пренебречь, считая всю его массу сосредоточенной в одной точке.

Когда пренебречь можно? Когда размеры тела малы по сравнению с расстояниями, которые оно проходит, или с расстояниями, на которых мы его рассматриваем. Самолёт на перелёте Москва — Владивосток (6000 км против 60 м размаха крыльев) — материальная точка. Тот же самолёт, заходящий на посадку и касающийся полосы, — уже нет: важна каждая пара метров крыла. Земля в задаче об обращении вокруг Солнца — материальная точка; Земля в задаче о времени восхода в Лондоне и Владивостоке — нет, потому что «ширина» Земли — как раз то, что в задаче важно.

Заметьте. Материальная точка — та же Земля из примера первого занятия, где одно и то же тело было точкой, шаром и эллипсоидом. Модель не «правильная» и не «неправильная» — она адекватна или неадекватна данной задаче. И у этой модели есть приятное следствие: как только тело стало точкой, всё его движение свелось к изменению одного числа — координаты точки. Именно так, через координату как функцию времени, мы и будем описывать движение на ближайших занятиях.

5. Траектория, путь и перемещение: две разные «дальности»

Траектория — линия, которую описывает тело (материальная точка) при своём движении. Траектория может быть прямой (брусок, скользящий по столу), кривой (мяч, брошенный наискосок), окружностью (точка на ободе карусели — и целые занятия впереди посвящены именно таким движениям).

Две величины характеризуют результат движения, и путать их — классическая ошибка:

Путь L — длина траектории, пройденная телом. Путь — скаляр: он всегда неотрицателен и никогда не уменьшается.

Перемещение s — направленный отрезок, соединяющий начальное положение тела с конечным. Перемещение — вектор: у него есть и длина, и направление.

Различие проще всего почувствовать на примере бегуна по стадиону: он пробежал круг, 400 м — это его путь. Но перемещение у него равно нулю: он вернулся в ту же точку, отрезок из начала в конец выродился в точку. Или: одометр автомобиля показывает путь (сколько километров «намотал» двигатель), а навигатору для прикидки маршрута важно перемещение — сколько осталось по прямой до цели.

Заметьте. На прошлом занятии мы ввели различие скалярных и векторных величин, и вот оно, первое применение: путь складывается как обычное число (пробежал 3 км, потом ещё 4 км — путь 7 км), а перемещения складываются как векторы — и 3 км плюс 4 км может дать перемещение от 1 км до 7 км в зависимости от направлений. Правила сложения векторов — следующие задания курса.

Обе величины измеряются в метрах — базовой единице СИ, — и обе измеряются напрямую или косвенно, с той же дисциплиной погрешностей, которую мы разобрали на прошлом занятии.

6. Главный вывод: описание движения начинается с выбора точки зрения

Соберём занятие в одну схему. Чтобы описать механическое движение, нужно: выбрать тело отсчёта, привязать к нему координаты и часы — то есть задать систему отсчёта; решить, можно ли в данной задаче считать тело материальной точкой; и далее различать, о чём идёт речь — о траектории, о пути (длина пройденной линии) или о перемещении (прямой отрезок от начала к концу). Вопрос «движется ли тело?» без слов «относительно чего?» — не вопрос физики, а вопрос привычки. А отказ от привычного, удобного ответа ради точного — это, собственно, и есть начало физики.

Разбор задач на занятии

Задача 1. Можно ли в следующих задачах считать тело материальной точкой: а) самолёт, летящий из Москвы во Владивосток; б) тот же самолёт, заходящий на посадку; в) Земля, обращающаяся вокруг Солнца; г) Земля при определении времени восхода Солнца в разных городах? Объяснить каждый ответ.

Решение. а) Да: 6000 км пути против ~60 м размаха крыльев — размерами можно пренебречь. б) Нет: на посадке важны каждые метры крыла и хвоста относительно полосы. в) Да: радиус орбиты в ~20 000 раз больше радиуса Земли. г) Нет: разница во времени восхода между городами возникает именно из-за размеров Земли — отбросить их значит отбросить сам предмет задачи.

Задача 2. Пассажир идёт по вагону поезда со скоростью 1 м/с относительно вагона. Поезд движется относительно земли со скоростью 20 м/с (это ровно 72 км/ч — помните задачу прошлого занятия). Найти перемещение пассажира относительно земли за 1 с, если он идёт: а) по ходу поезда; б) против хода.

Решение. За 1 с поезд проходит 20 м относительно земли. а) Идя по ходу, пассажир за эту же секунду проходит ещё 1 м по вагону — всего 21 м относительно земли. б) Идя против хода, он смещается на 1 м назад относительно вагона, который сам ушёл на 20 м вперёд: итог 19 м относительно земли. Тот же ответ можно записать компактно: 20 + 1 = 21 м и 20 − 1 = 19 м. Тело движется одновременно в двух системах отсчёта — и оба описания верны.

Задача 3. Опишите траекторию: а) капли дождя на оконном стекле движущегося поезда (относительно поезда); б) той же капли — относительно земли; в) точки на ободе катящегося колеса — относительно оси колеса; г) той же точки — относительно дороги.

Решение. а) Наклонная прямая: капля смещается вниз относительно стекла и одновременно вместе со стеклом — назад (поезду вперёд). б) Вертикальная прямая: относительно земли поезд движется вперёд, а капля — только вниз. в) Окружность: относительно оси точка обода вращается. г) Закрученная вперёд линия, циклоида — одна из самых красивых траекторий механики; вернёмся к ней на занятиях о вращении. Один и тот же объект — и четыре разные траектории в зависимости от системы отсчёта.

Задача 4. Велосипедист, стартовав от дома, объехал вокруг квартала по замкнутому маршруту длиной 800 м и остановился у магазина, который находится напротив дома через улицу, на расстоянии 200 м от него по прямой. Найти путь и модуль перемещения велосипедиста.

Решение. Путь — длина пройденной траектории: L = 800 м. Перемещение — отрезок от начальной точки (дом) до конечной (магазин): |s| = 200 м. Один и тот же финал, а величины различаются вчетверо — потому что путь наматывается по траектории, а перемещение смотрит только на начало и конец.

Задача 5. Тело движется по окружности радиусом 10 м и проходит ровно половину окружности. Найти путь и модуль перемещения.

Решение. Путь — длина полуокружности: L = πR = 3,14·10 = 31,4 м. Перемещение — отрезок из начала в конец, то есть диаметр: |s| = 2R = 20 м. Заметьте: здесь траектория не замкнулась, но путь всё равно больше перемещения — это общее правило: путь всегда не меньше модуля перемещения, и равен он ему только при прямолинейном движении в одну сторону.

Задачи для самостоятельного решения (домашнее задание)

Задача 1. Можно ли считать материальной точкой: а) подводную лодку на дальнем переходе через океан; б) ту же лодку, входящую в док; в) муху, летящую по классу, если нас интересует расстояние, которое она пролетит до окна?

Задача 2. Привести собственный пример тела, которое одновременно неподвижно в одной системе отсчёта и движется в другой, указав обе системы.

Задача 3. Вдоль шоссе, начало отсчёта и направление оси x которого совпадают с нулевым километром и направлением движения, стоят дом (отметка 12 км) и заправка (отметка 27 км). Автобус остановился у дома. Записать координату автобуса и расстояние от автобуса до заправки. Что изменится, если ось направить в противную сторону?

Задача 4. От дома до школы по прямой 500 м. Школьник шёл обходным путём и, по записям шагомера, намотал 900 м. Найти путь и модуль перемещения школьника за всё время пути.

Задача 5. Объяснить своими словами, почему вопрос «движется ли тело?» без указания системы отсчёта бессмысленен, и привести пример ситуации, в которой одно и то же тело справедливо называют и движущимся, и неподвижным — одновременно.

Основные выводы

• Механическое движение — изменение положения тела относительно других тел с течением времени. Это самый простой вид физических явлений и первый объект кинематики; раздел, изучающий причины движения (динамика), подождёт своих занятий.
• Движение относительно: тело одновременно неподвижно в одной системе отсчёта и движется в другой. Никакого абсолютно неподвижного тела во Вселенной нет — даже Солнце несётся вокруг центра Галактики со скоростью ~230 км/с. Вопрос «движется ли тело?» требует уточнения «относительно чего?».
• Система отсчёта — тело отсчёта + система координат + часы. Её выбирают произвольно, из соображений удобства задачи: диспетчеру нужна Земля, стюардессе — фюзеляж.
• Координата зависит от выбора начала отсчёта и направления оси; расстояние между двумя точками — не зависит. Это различие будет использоваться постоянно.
• Материальная точка — первый и главный инструмент кинематики: тело, размерами которого в данной задаче пренебрегают. Адекватность модели определяется соотношением размеров тела и масштабов задачи.
• Траектория — линия движения; она может быть прямой, кривой, окружностью — и зависит от системы отсчёта (точка обода катящегося колеса рисует окружность относительно оси и циклоиду относительно дороги).
• Путь L — длина траектории, скаляр, неотрицателен и не убывает. Перемещение s — вектор из начального положения в конечное. Путь всегда не меньше модуля перемещения; равенство — только для прямолинейного движения без возвратов.
• Схема работы на ближайшие занятия: система отсчёта → модель (материальная точка) → координата как функция времени.