Урок 2. Физические величины. Погрешности измерений физических величин

На прошлом занятии мы выяснили, что физика опирается на эксперимент, а эксперимент — на измерения. Мы уже говорили, что никакое измерение не бывает абсолютно точным, и это было сознательно отложено на потом. Теперь «потом» наступило: сегодня посмотрим на измерение глазами физика-экспериментатора — что такое физическая величина, как устроены шкалы приборов и главное, как обращаться с погрешностью так, чтобы она не мешала, а работала на нас. Сквозным примером занятия будет самое простое измерение на свете: определение длины карандаша обычной линейкой.

1. Физическая величина: точное определение и два её рода

Физическая величина — физическое свойство, которое можно измерить, то есть выразить числом путём сравнения с однородной величиной, принятой за единицу.

Требование измеримости отсекает из физики слова вроде «яркий», «горячий» или «быстрый» — это качества. А сила света в люменах, температура в градусах, скорость в метрах в секунду — величины.

Величины делятся на два рода, и различие это пригодится на каждом следующем занятии:

Скалярные величины полностью определяются числом (в выбранных единицах): длина, масса, время, температура, объём.

Векторные величины определяются числом и направлением: перемещение, скорость, ускорение, сила.

«Машина проехала 100 км» — фраза о скаляре (пути); «машина переместилась на 100 км» — фраза, которая без направления бессмысленна: на север? на юг? Когда на занятиях о движении мы начнём складывать скорости, мы увидим, что сложить 30 км/ч и 40 км/ч можно и получить 70 км/ч, а можно — и получить 10 км/ч: всё решает направление. Скаляры складываются как обычные числа, векторы — по особым правилам.

Заметьте. Сами физические величины существуют в природе независимо от нас: длина ручки есть и у человека, и у человека без всякой линейки. А вот единицы измерения — дело договорённости: метр выбрали таким, какой он есть, чисто исторически, и взять вместо него другую единицу ничего не стоило бы. На прошлом занятии мы видели, к чему эта произвольность привела: современные эталоны воссоздаются через природные константы, чтобы любая лаборатория могла собрать свой «эталонный метр» сама.

Основные единицы СИ, с которыми столкнёмся в первую очередь (это кинематика ближайших занятий):

(Полная система СИ включает ещё ампер, кельвин, моль и канделу — они войдут в курс позже, по мере появления соответствующих явлений.)

2. Приставки: как записывать очень большие и очень маленькие величины

Реальные значения физических величин удобнее записывать не длинными цепочками нулей, а с помощью десятичных приставок — множителей, кратных тысяче:

Правила обращения с приставками просты, но здесь легко ошибиться:

Пример. 3,6 км = 3,6·1000 м = 3600 м. 450 мг = 450·10⁻⁶ кг = 4,5·10⁻⁴ кг (или 0,45 г — сначала миллиграммы в граммы, потом граммы в килограммы). 0,35 мкм = 0,35·10⁻⁶ м = 3,5·10⁻⁷ м.

Заметьте. Приставки нельзя ставить куда попало: «километр в час» и «метр в секунду» — разные единицы скорости, причём 1 км/ч = 1000 м / 3600 с = 1/3,6 м/с ≈ 0,278 м/с. Именно поэтому 72 км/ч — это ровно 20 м/с (задача 1 домашнего задания прошлого занятия). Этот перевод, 1 м/с = 3,6 км/ч, стоит запомнить раз и навсегда: на нём стоит вся автомобильная практика.

3. Средства измерений: шкала, цена деления, правильный отсчёт

Средство измерений — прибор, предназначенный для измерения физической величины: линейка, мензурка, термометр, секундомер, весы, амперметр.

Почти у всякого школьного прибора есть шкала — ряд отметок с числами. Две характеристики шкалы важнее всего:

Цена деления — значение наименьшего деления шкалы. Чтобы её найти: выберите два соседних штриха, подписанных числами, вычтите меньшее из большего и разделите на число делений между ними:

$ЦенаДеления=\frac{a₂-a₁}{N}$

Пределы измерения — наименьшее и наибольшее значения, которые можно измерить данным прибором (линейка на 30 см не измерит длину класса; для этого возьмут рулетку с той же ценой деления, но большими пределами).

Теперь — о самом отсчёте. Здесь легко запутаться, потому что ошибка не бросается в глаза, а вносится тихо и систематически:

Параллакс — смещение отсчёта из-за того, что глаз смотрит на шкалу не перпендикулярно. Это классическая систематическая ошибка: она не «размазывается» от измерения к измерению, а сидит во всех отсчётах одинаково. Правило одно: глаз, отсчитываемый штрих и шкала должны лежать на одной прямой, перпендикулярной шкале.

Заметьте. У серьёзных стрелочных приборов (амперметров, вольтметров) есть ещё и класс точности — число, выгравированное на шкале, например «2,5». Оно означает: приборная погрешность составляет 2,5 % от предела измерения. Чем меньше класс точности, тем точнее прибор.

4. Погрешность: как честно записать результат

Истинное значение величины никому неизвестно в принципе: любое измерение лишь приближается к нему. Поэтому в физике результат принято записывать не одним числом, а с погрешностью:

Результат измерения: $x=x_{ср}\pm \Delta x$, где x_ср — лучшее полученное значение (среднее повторных измерений), Δx — абсолютная погрешность — максимальная величина, на которую истинное значение может отличаться от $x_{ср}$.

Численная иллюстрация для нашего карандаша:

Абсолютная погрешность складывается из трёх вкладов, и важно различать их природу:

Приборная погрешность задаётся самим прибором. Для школьных приборов со шкалой её принимают равной цене деления: линейка с ценой деления 1 мм измеряет с погрешностью ±1 мм = ±0,1 см — отсюда наш карандаш: L = (5,4 ± 0,1) см.

Случайная погрешность то завышает, то занижает результат: время реакции на секундомере, дрожание руки, мгновение щелчка. Её уменьшают усреднением: чем больше повторных измерений, тем ближе среднее к истинному.

Систематическая погрешность сдвигает все результаты в одну сторону: параллакс, спешащие часы, истёртый нуль линейки, неоттаренные весы. Усреднение её не убирает — нужно устранять причину.

Различие последних двух — самое тонкое место занятия, стоит остановиться на нём отдельно. Если секундомер спешит на 0,2 с, то измерив время сто раз и усреднив, вы получите весьма точное — и весьма завышенное на 0,2 с — значение. Случайная ошибка уменьшается как √N с ростом числа измерений N, систематическая — никак.

Абсолютная погрешность сама по себе ещё ничего не говорит о качестве измерения: ±1 мм при измерении длины стола — это прекрасно, а при измерении толщины волоса — бесполезно. Для сравнения вводится относительная погрешность:

$\epsilon =\frac{\Delta x}{x_{ср}}·100$%

Именно относительная погрешность — главная формула занятия, по ней судят о качестве измерения. Отсюда же следуют все правила работы: выбирать прибор под задачу, повторять измерения, усреднять, избегать параллакса — и, если относительная погрешность всё равно велика, применять приёмы, которые мы разберём в следующем разделе.

5. Косвенные измерения и приёмы укрупнения

Измерения бывают двух видов:

Прямое измерение — величина считывается непосредственно с прибора (длина — линейкой, время — секундомером).

Косвенное измерение — величина вычисляется по формуле из других, измеренных напрямую. Классический пример — плотность: $\rho =\frac{m}{V}$. Нельзя «измерить плотность линейкой», но можно измерить массу весами и объём мензуркой — и поделить.

У косвенных измерений есть принципиальная особенность: погрешности входных измерений складываются. Для формул вида «произведение или частное» работает простое правило (пользуйтесь им как готовым фактом, строгий вывод — математика старших классов):

$\frac{\Delta \rho }{\rho }=\frac{\Delta m}{m}+\frac{\Delta V}{V}$ — относительные погрешности при умножении и делении складываются.

Правило это объясняет и важный практический совет: чем больше промежуточных измерений в цепочке, тем больше нарастает погрешность, поэтому по возможности измеряют самым прямым способом. Но есть и обратный приём, который погрешность уменьшает — приём укрупнения: измерить сразу много одинаковых малых объектов и разделить на их число.

Пример 1. Толщина листа бумаги (задача 3 домашнего задания прошлого занятия). Пачка в 500 листов толщиной 50 мм измеряется линейкой с погрешностью 1 мм: ${\Delta }_{ОдногоЛиста}=\frac{1мм}{500}=0,002мм$ — при том что прямое измерение одного листа той же линейкой дало бы погрешность ±1 мм, то есть ±1000 % вместо 4 %.

Пример 2. Диаметр проволоки. Намотайте проволоку виток к витку на карандаш (40 витков) и измерьте линейкой ширину намотки (20 мм): $d=\frac{20мм}{40}=0,5мм$, при этом погрешность одного измерения делится на 40: $\frac{\pm 1мм}{40}=\pm 0,025мм$.

Пример 3. Земной шар. Самый известный в истории косвенный замер сделал Эратосфен около 240 года до н.э.: по разнице углов тени в двух городах и расстоянию между ними он вычислил радиус Земли с точностью порядка пары процентов — палка, тень и геометрия вместо линейки, которой не существует. Именно косвенные измерения позволяют физике выходить за пределы лаборатории: до звёзд нет линейки, но есть законы, связывающие наблюдаемое с измеряемым.

6. Главный вывод: результат измерения — всегда интервал

Соберём занятие в одну картину. Физическая величина измеряется сравнением с эталоном, а результат измерения — не точка на числовой оси, а интервал: $x=x_{ср}\pm \Delta x$. Прибор вносит приборную погрешность (у школьных приборов — порядка цены деления), повторные измерения усредняют случайную составляющую, а систематическую можно только устранить — найти и убрать причину. Качество измерения оценивается относительной погрешностью $\epsilon =\frac{\Delta x}{x_{ср}}·100$, и если она велика, на помощь приходят приёмы укрупнения и косвенные измерения — с их собственным правилом сложения погрешностей.

Здесь кроется и ответ на вопрос, почему физики не расстраиваются из-за погрешностей: честно указанная погрешность — это не слабость измерения, а его полнота. Число без погрешности — полуслово; интервал с погрешностью — ответ, которому можно доверять. Когда на следующих занятиях мы начнём измерять скорости, ускорения и силы, этот инструментарий будет использоваться в каждой лабораторной работе.

Разбор задач на занятии

Задача 1. На шкале мензурки подписаны значения 20 и 30 мл, между ними 10 делений; на шкале термометра подписаны 20 и 30 °C, между ними 5 делений. Найти цену деления каждого прибора. В мензурке уровень жидкости стоит на отметке 27 мл, термометр показывает 24 °C. Записать результаты измерений с погрешностью.

Решение. Цена деления мензурки: $\frac{\left(30-20\right)}{10}=1мл$. Цена деления термометра: $\frac{\left(30-20\right)}{5}=2°C$. Принимая приборную погрешность равной цене деления: V = (27 ± 1) мл; t = (24 ± 2) °C.

Задача 2. Выразить: а) 3,6 км в метрах; б) 450 мг в килограммах; в) 0,35 мкм в метрах; г) 90 км/ч в метрах в секунду.

Решение. а) 3,6 км = 3,6·10³ м = 3600 м. б) 450 мг = 450·10⁻⁶ кг = 4,5·10⁻⁴ кг. в) 0,35 мкм = 0,35·10⁻⁶ м = 3,5·10⁻⁷ м. г) 90 км/ч = 90/3,6 м/с = 25 м/с.

Задача 3. Линейкой с ценой деления 1 мм измерили длину стола (получилось 1,000 м) и толщину стекла (получилось 5 мм). Найти абсолютную и относительную погрешности каждого измерения. Как с помощью той же линейки уменьшить относительную погрешность измерения толщины стекла?

Решение. Абсолютная погрешность в обоих случаях одна — цена деления: Δ = 1 мм.

Стол: ε = 1 мм / 1000 мм = 0,001 = 0,1 % — измерение хорошее.

Стекло: ε = 1 мм / 5 мм = 0,2 = 20 % — измерение слабое: погрешность составляет пятую часть самой величины.

Приём укрупнения: измерить пачку из 10 одинаковых стёкол (50 мм): ε = 1/50 = 2 %; из 100 стёкол (500 мм): ε = 0,2 %. Погрешность не изменилась в абсолютном выражении, но относительная упала ровно во столько раз, сколько раз выросла измеряемая величина.

Задача 4. Для определения плотности тела измерили его массу и объём: m = (158 ± 1) г, V = (20 ± 1) см³. Вычислить плотность, оценить её относительную и абсолютную погрешности, записать результат. Какое из двух измерений «портит» результат сильнее и что надо улучшить в первую очередь?

Решение. $\rho =\frac{m}{V}=\frac{158}{20}=7,9г/см³$.

Относительная погрешность: $\frac{\Delta \rho /\rho }{=}\frac{\Delta m}{m}+\frac{\Delta V}{V}=\frac{1}{158}+\frac{1}{20}\approx 0,006+0,05=0,056\approx 5,6$.

Абсолютная погрешность: Δρ = 7,9 · 0,056 ≈ 0,4 г/см³.

Результат: ρ = (7,9 ± 0,4) г/см³.

Вклад массы — около 0,6 %, вклад объёма — 5 %. Объёмное измерение вносит почти вдесятеро большую ошибку, поэтому улучшать надо в первую очередь мензурку (или применять более точный способ измерения объёма, например вытеснение воды с мензуркой с меньшей ценой деления).

Задача 5. Диаметр тонкой проволоки измеряют намоткой: на карандаш виток к витку намотали 40 витков, ширина намотки по линейке 20 мм, погрешность измерения ширины — цена деления линейки, 1 мм. Найти диаметр проволоки и его погрешность. Чему равнялась бы относительная погрешность прямого измерения диаметра той же линейкой?

Решение. Диаметр: $d=\frac{L}{N}=\frac{20мм}{40}=0,5мм$.

Погрешность делится на число витков: $\Delta d=\frac{\Delta L}{N}=\frac{1мм}{40}=0,025мм\approx 0,03мм$.

Относительная погрешность: $\epsilon =\frac{0,025}{0,5}=0,05=5$.

При прямом измерении той же линейкой: $\epsilon =\frac{1мм}{0,5мм}=200$ — ответ заведомо бессмысленен. Приём укрупнения улучшил измерение в 40 раз именно потому, что абсолютная погрешность делится на 40, а измеряемая величина — на 40 не делится, а вычисляется.

Задачи для самостоятельного решения (домашнее задание)

Ответы приведены в конце документа для самопроверки.

Задача 1. На шкале термометра между отметками 0 и 10 °C — 10 делений, на шкале мензурки между отметками 50 и 100 мл — 10 делений. Найти цену деления каждого прибора и определить, какой из них позволяет делать более точный отсчёт.

Задача 2. Выразить: а) 72 км/ч в метрах в секунду; б) 0,05 мкм в метрах; в) 2,7 г/см³ в кг/м³.

Задача 3. Время полёта мяча, брошенного вверх, около 2 с. Время реакции человека, пускающего и останавливающего секундомер, около 0,2 с. Оценить относительную погрешность прямого измерения времени полёта. Предложить способ измерения, уменьшающий её в десять раз, и объяснить, почему он работает.

Задача 4. При определении плотности жидкости получили m = (100 ± 5) г и V = (25 ± 2) см³. Вычислить плотность, оценить относительную и абсолютную погрешности и записать результат измерения.

Задача 5. Привести один пример систематической погрешности, встречающейся в быту, и указать способ её устранения. Объяснить, почему многократное повторение измерения в этом случае не помогает.

Основные выводы

• Физическая величина — измеримое свойство, выражаемое числом в выбранных единицах. Величины бывают скалярными (числа) и векторными (число + направление); с векторами мы будем работать на всех занятиях о движении и силах.
• СИ: метр, килограмм, секунда и другие базовые единицы; приставки (милли, санти, кило, мега…) заменяют степени десяти и позволяют записывать очень большие и очень маленькие значения без цепочек нулей. Полезно помнить: 1 м/с = 3,6 км/ч.
• Главные характеристики шкалы прибора: цена деления $\frac{a₂-a₁}{N}$ и пределы измерения. Приборную погрешность школьных приборов принимают равной цене деления; отсчёт делают строго перпендикулярно шкале, иначе возникает систематическая ошибка — параллакс.
• Результат измерения записывают в виде $x=x_{ср}\pm \Delta x$: это интервал, внутри которого находится истинное значение. Абсолютная погрешность складывается из приборной, случайной и систематической составляющих; случайную уменьшают усреднением многократных измерений, систематическую — только устранением причины.
• Качество измерения оценивает относительная погрешность $\epsilon =\frac{\Delta x}{x_{ср}}·100$: одинаковая абсолютная погрешность может быть отличной для стола (0,1 %) и бесполезной для листа бумаги.
• Косвенные измерения (плотность по $\rho =\frac{m}{V}$) наследуют погрешности всех входных измерений: относительные погрешности складываются, поэтому слабое звено цепочки определяет точность всего результата. Приём укрупнения (пачка листов, намотка проволоки) делит абсолютную погрешность на число объектов и улучшает относительную погрешность во столько же раз.
• Число без погрешности — полуслово: честно указанная погрешность делает измерение полным и доверенным.